求解简单三角函数方程 - 练习题
练习说明
以下练习题按照难度递增排列，建议按顺序完成。每道题都包含详细的解题步骤和答案。
1. 使用计算器：sin⁻¹(1/2) = 30°
2. 由于 sin θ 在第一象限和第二象限都是正值，我们需要找到两个解：
• θ = 30°（第一象限）
• θ = 180° - 30° = 150°（第二象限）
3. 因此，在区间 0 ≤ θ ≤ 360° 内，解为 θ = 30° 和 θ = 150°
1. 使用计算器：cos⁻¹(√3/2) = 30°
2. 由于 cos x 在第一象限和第四象限都是正值，我们需要找到两个解：
• x = 30°（第一象限）
• x = 360° - 30° = 330°（第四象限）
3. 因此，在区间 0 < x ≤ 360° 内，解为 x = 30° 和 x = 330°
1. 使用计算器：tan⁻¹(1) = 45°
2. 由于 tan x 的周期是 180°，我们需要找到在给定区间内的解：
• x = 45°（第一象限）
• x = 45° + 180° = 225°（第三象限）
3. 因此，在区间 0 ≤ x ≤ 360° 内，解为 x = 45° 和 x = 225°
1. 首先化简方程：sin x = -2/5 = -0.4
2. 使用计算器：sin⁻¹(-0.4) = -0.411 弧度
3. 由于 sin x 在第三象限和第四象限都是负值，我们需要找到在给定区间内的解：
• x = π + 0.411 = 3.553 弧度（第三象限）
• x = 2π - 0.411 = 5.872 弧度（第四象限）
4. 因此，在区间 0 ≤ x ≤ 2π 内，解为 x = 3.55 弧度和 x = 5.87 弧度（保留3位有效数字）
1. 使用计算器：cos⁻¹(-√2/2) = 135°
2. 由于 cos x 在第二象限和第三象限都是负值，我们需要找到两个解：
• x = 135°（第二象限）
• x = 360° - 135° = 225°（第三象限）
3. 因此，在区间 0 < x ≤ 360° 内，解为 x = 135° 和 x = 225°
1. 使用计算器：tan⁻¹(-√3) = -60°
2. 由于 tan x 的周期是 180°，我们需要找到在给定区间内的解：
• x = -60° + 180° = 120°（第二象限）
• x = 120° + 180° = 300°（第四象限）
3. 因此，在区间 0 ≤ x ≤ 360° 内，解为 x = 120° 和 x = 300°
1. 将方程两边除以 cos θ：sin θ/cos θ = √3
2. 使用恒等式：tan θ = √3
3. 使用计算器：tan⁻¹(√3) = π/3
4. 由于 tan θ 的周期是 π，在区间 0 ≤ θ ≤ 2π 内：
• θ = π/3（第一象限）
• θ = π/3 + π = 4π/3（第三象限）
5. 因此，解为 θ = π/3 和 θ = 4π/3
1. 将方程两边除以 cos θ：2 sin θ/cos θ = 3
2. 使用恒等式：2 tan θ = 3，所以 tan θ = 3/2
3. 使用计算器：tan⁻¹(3/2) = 56.31°
4. 由于 tan θ 的周期是 180°，在区间 0 ≤ θ ≤ 360° 内：
• θ = 56.31°（第一象限）
• θ = 56.31° + 180° = 236.31°（第三象限）
5. 因此，解为 θ = 56.3° 和 θ = 236.3°（保留1位小数）
1. 将方程重写为：sin θ = -cos θ
2. 两边除以 cos θ：sin θ/cos θ = -1
3. 使用恒等式：tan θ = -1
4. 使用计算器：tan⁻¹(-1) = -π/4
5. 由于 tan θ 的周期是 π，在区间 0 ≤ θ ≤ 2π 内：
• θ = -π/4 + π = 3π/4（第二象限）
• θ = 3π/4 + π = 7π/4（第四象限）
6. 因此，解为 θ = 3π/4 和 θ = 7π/4
1. 取平方根：sin θ = ±1/2
2. 情况1：sin θ = 1/2
• θ = 30° 或 θ = 150°
3. 情况2：sin θ = -1/2
• θ = 210° 或 θ = 330°
4. 因此，所有解为：θ = 30°, 150°, 210°, 330°
练习建议
1. 先完成基础练习，确保掌握基本概念
2. 逐步挑战中等和困难题目
3. 注意检查解是否在给定区间内
4. 验证答案的正确性
5. 多练习不同类型的题目以提高熟练度